Les formules mathématiques

La pression

Pression au pied d'un barrage  http://blog.ecolokid.com
Pression au pied d'un barrage http://blog.ecolokid.com

Un barrage doit résister à des contraintes impressionnantes qu’il est important de connaître pour pouvoir comprendre son fonctionnement.

Tout d’abord un barrage est soumis à des pressions, dont la plus importante est la pression hydrostatique. C’est une force horizontale exercée par l’eau sur sa surface immergée. On en tire l’expression suivante :

 

-      P est la pression en Pa (Pascal),

-      ρ la masse volumique de l’eau en kg.m³,

-      g  est  l'accélération de la pesanteur (9,81 m2/s),

-      h la hauteur d’eau au dessus du point considéré en m.

Le barrage de Tignes  vacanceo.com
Le barrage de Tignes vacanceo.com

 

On constate que la pression dépend de la hauteur d’eau et non de la largeur du barrage. Etant donné que c’est la hauteur d’eau qui est responsable de la pression hydrostatique, on peut calculer facilement celle du barrage de Tignes, en considérant que sa hauteur d’eau est égale à 150m.

Donc :

 

P = 1000 * 9.81*150= 1 321 500 Pa, c'est-à-dire 13 bars.

 

La puissance électrique d'une centrale hydroélectrique

Le barrage hydroélectrique de Grandval hotel-lion-or.com
Le barrage hydroélectrique de Grandval hotel-lion-or.com

Tant dans l’intérêt de l’entreprise propriétaire que dans l’intérêt commun des utilisateurs, une centrale doit être productrice. On peut donc calculer la puissance d’une centrale hydraulique par la formule suivante

 

Avec :

P : puissance électrique en kW ;

Q : débit moyen mesuré en mètres cube par seconde ;

H : hauteur de chute en mètres ;

g: constante de gravité, soit près de 9,8 (m/s2) ;

r : rendement de la centrale (compris entre 0,6 et 0,9)

 

Barrage de Salagou airpics.fr
Barrage de Salagou airpics.fr

Dus à la nature des  phénomènes qui régissent le fonctionnement des machines, une partie de  cette énergie se dissipe sous forme de pertes, ce qui ramène le  potentiel effectivement utilisable à 60 ou 90 % de sa valeur brute.  Cela nous donne r. 

 

Les énergies

Le premier "stade" de l'exploitation d'un barrage hydroélectrique est la retenue d'une certaine masse d'eau, afin d'ensuite exploiter son énergie potentielle. C'est cette notion d'énergie qui serait à disposition dans la retenue d'eau du barrage qui est étudiée ici.

- L'énergie potentielle est de l'énergie mécanique stockée, elle est dite potentielle parce qu'elle ne se manifeste à nous que lorsqu'elle se convertit en une autre forme d'énergie. En l’occurrence dans le cas d’un barrage ce sera de l’énergie mécanique lorsqu’elle fera tourner la turbine.

La forme libre associée est l'énergie cinétique. Cette énergie potentielle, définie à une constante arbitraire près, ne dépend que de la position du corps dans l'espace. 

- L'accumulation d'énergie potentielle est faite en travaillant la force à contre-sens : dans le cas d'un barrage donc, l'eau retenue par le barrage accumule de l'énergie potentielle, c'est cette énergie qui sera exploitée dans la centrale hydroélectrique. Concrètement c’est lors des précipitations lorsque la retenue se remplie d’eau.

 
- L'énergie potentielle de pesanteur ou énergie de position est l'énergie que possède un système du fait de sa position. Cette force ne dépend aucunement du parcours effectué entre deux points h1 et h2, mais seulement des positions initiales et finales de l'objet étudié. Concrètement cela signifie que plus un système est en hauteur plus il possède une énergie potentille de pesanteur.

 

L’énergie cinétique ou énergie de vitesse, c’est l'énergie que possède un corps du fait de son mouvement réel.

 

Expérience

Cela s’explique par le fait que tout système possède une certaine énergie. 

 

Nous avons modéliser cette experience avec Powerpoints. Nous avons deux billes strictement identiques ainsi que deux deux bloc des pâte à modeler strictement identique. 

A cet instant, nous n'avons pas lâché les boules. B1 étant plus en hauteur que B2, elle possède plus d’énergie.

 

A cet instant les boules ont déjà été lachées. 

B1 et B2 possède toujours la même quantité d’énergie. Cependant une partie de l’énergie de position a laissé sa place à de l’énergie de vitesse acquise lors de la chute.

La barre d’énergie est rouge, il n’y a plus d’énergie.

On constate que B1 s’est bien plus enfoncé dans la pâte à modeler que B2 car elle possédait plus d’énergie.

 

C’est comme dans les barrages, plus l’eau est en altitude par rapport à la turbine, plus elle a d’énergie. Donc plus elle aura un fort impact sur la turbine ce qui produira plus d’électricité.

 

Puissance de la centrale

Lorsque l’eau commence à descendre dans la conduite l’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique. A la centrale presque toute l’énergie potentielle s’est transformée en énergie cinétique. Une petite partie est perdue à cause des frottements entre l’eau et la conduite forcée. Ensuite pour connaître la puissance de la centrale,on utilise cette formule :

 

 

Avec : 
  - 
P =puissance 
  - 
Ecin = énergie cinétique 
  - 
T = temps

 

Energie cinétique de l'eau

Pour calculer le travail de l’eau qui arrive sur la turbine, on multiplie la hauteur de chute (en mètre) par le débit (en Litre). Ainsi lorsque 1 L d’eau tombe de 100 mètres, cela produit l00kgm (kilogrammètre : travail produit par IL d’eau tombant d’un mètre) et lorsque l00L d’eau tombent d’un mètre, cela produit aussi 100kgm, c’est pourquoi certaines centrales au fil de l’eau sont aussi puissantes que des centrales de très haute chute.

 

On calcule l’énergie cinétique acquise par un système (ici l’eau) descendant dans la conduite forcée.

 


 

Evc:

 -m = masse de l'eau
-
v = vitesse de l'eau

Energie potentielle de l'eau

L'énergie potentielle d’une masse de 1 kg d’eau à la surface d’un lac de barrage est plus élevée que son énergie potentielle lorsqu’elle est au pied du barrage, en effet, pour une différence d’altitude de 100 m, la différence d'énergie potentielle de l'eau est de 981 J. C’est cette énergie qui est exploitée dans une centrale hydroélectrique.


La formule associée s'écrit :

 

avec :

Epp  l'énergie potentielle de l'objet

m la masse de l'objet. 
g l'accélération (le champ) gravitationnel

h la hauteur de l'objet au moment donné

 

transportlambert.centerblog.net
transportlambert.centerblog.net

1 kW.h = 3,6*10^6 Joules

 

Le potentiel théorique

Mais lors de la transformation de l'énergie potentielle en énergie cinétique, une partie de cette énergie est perdue sous forme de chaleur dans la turbine, qui ramène le rendement à 75% de sa valeur brute.

 

 

      Le potentiel théorique net utilisé se définit donc par la formule :


avec :

Epp  l'énergie potentielle de l'objet

m la masse de l'objet. 
g l'accélération (le champ) gravitationnel

h la hauteur de l'objet au moment donné

 

Variation de l'énergie potentielle

La variation de l'énergie potentielle entre deux points donnés se calcule par la formule :

 

 

 

 

Avec:

Epp2  l'énergie potentielle de l'objet à sa position initiale.
Epp1  l'énergie potentielle de l'objet à sa position finale.
h2 la hauteur initiale de l'objet.
h1 la hauteur finale de l'objet.

 

L'énergie mécanique

      L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. En l'absence de frottement ou de choc, celle-ci se conserve. Dans un barrage hydroélectrique, l'énergie mécanique est produite par les turbines.


      Elle s'exprime généralement par :

 

Avec :

Em est l'énergie mécanique (en J)
Ec est l'énergie cinétique (en J)
Ep est l'énergie potentielle (en J)